第293章 千金争舍，传流一字
万历明君 · 鹤招
朱翊钧心不在焉地将主动缠到鱼钩上的草鞋解下，重新扔进湖中。
他咂摸着刘顿开的一番话，心中难得有些自惭形秽，后悔没有及时接见这几位学者。
这才是大明朝真正的栋梁之材啊！
早知道哥几个思考的问题如此深入，朱翊钧就应该纳头便拜，哪里还敢拿架子，偷偷跑来钓鱼？
将数字分门别类，听起来简单，但这就涉及到集合；
涉及到集合，就必然需要给每个集进行定义；
一旦开始定义，就会发现许许多多不被定义的脏东西，这里不是骂人，而是指√2这一类不可度量的数字。
√2是什么？
这是一个非常经典的问题，古今中外许许多多有识之士，都有幸窥见过它的轮廓，甚至做出了尝试，但无一例外，都在山腰折返。
毕达哥拉斯学派率先窥见，因它除之不尽，大大地破坏了数学的美感，于是便将它开除出“数”的籍贯，传说还顺带把提出问题的人扔进了海里。
他交代的任务本身就是短期内不能完成的任务，遇到一点完全不能理解的事情，实在再异常不过了。
众人不敢怠慢，连忙侧耳倾听。
他话锋一转：“你们难道没听过隆庆八年十月七十四，你在早朝上说过的话？”
他双手揪住衣襟，手指反复缠绕，局促道：“这俺……微臣就献丑了。”
他算是知道，为什么那几人一边视他如笨猪，一边又远从万里之外来向笨猪请教了。
李诚铭一愣：“加减乘除，那不是自然而然的事么？”
“得到甲²=2×乙²，易见，甲的平方是偶数，可推出，甲是偶数。”
逻辑学，是皇帝传下、用来检验事物因果的工具之一。
但大明朝现在的数学基础，即便李诚铭在给2开平方的过程中，已隐约接触到了极限的概念，却仍不足以支撑他如此深入地理解极限的内涵。
但他没想到，朱翊钧会突然告诉自己，证明了√2不是分数。
万震伟沉默片刻，摇了摇头：“本来有的，现在没有了。”
换句话说，皇叔若将0.9的9循环看作一个不能做乘法的数，那么他就必须证明其收敛到相应的无理数，并保证其运算与无理数运算相容。
只听万震伟以一种难以置信的语气，骇然道：“0.9的9循环，竟然就等于1！”
朱翊钧按照来前排练好的台词，谄笑道：“陛下说是什么主意，就定什么主意。”
“臣等心术不正，钻营取巧，还请陛下责罚！”
李诚铭闻言，突然起身，朝皇帝郑重其事一拜。
他意犹未尽地点了点头，评头论足道：“那倒是挺适合他嘛，怎么没有后人想到过？”
嗯，实际上嘛，情绪一般。
万震伟却不接那个话茬，看向李诚铭：“你不是将此事全权交给了皇叔？”
朱翊钧如愿以偿，欣然应下。
怎么就让人束手无策两千年呢？
“那便与最初的“存在性假设”相矛盾。”
注意力还是这么惊人，朱载堉忍不住腹诽一句。
万震伟回过神来。
《九章算术》中的先贤紧随其后，也只能遗憾地留下一句“若开之不尽者，为不可开”，退而求其次，将其算法化、近似化、实用化。
“话说这极西之地有数国，号称神明应许之地，由教会代掌，不仅左右凡人生死，甚至王朝更迭，也由教会加冕。”
朱载堉真的很好奇，好奇到连鱼竿都扔在了一边，真心请教。
朱载堉很给面子地追问道：“窟窿？”
朱载堉满意颔首：“方才一番话，不单劝你要从你的“理”，亦是告诫你不要信任何人的“理”。”
也正是这一场论道，皇帝不仅从经学上夺回了真理的定义权，还让王世贞用那一份“依据”，向世人“证明”了四书五经中腐草为萤的准确——在这一瞬间，圣人的权威，败给了区区程大位。
说着，他用一种惊恐的神色环顾众人。
“然后，事情就出现了转机，你们猜，是什么？”
朱翊钧还要同仇敌忾地骂上几句，却被程大位拉了拉。
“陛下……”
“陛下，微臣自身难保，哪还能指点他人。”
刘顿开茫然无措，万震伟和程大位埋头无语。
在一众惊讶的目光中，竟然双手一拢大袖，朝几人郑重其事一拜，恭敬还了道友之礼。
李诚铭亦步亦趋跟在皇帝身后。
那么问题又来了，用什么样的方式去良定大数？
说罢。
“就是1/3那个数，将其化为小数后，便可写作0.3的3循环。”
朱载堉亲手将几人扶了起来，报以肃然：“你们的智识与功德远超于我，慢慢请起。”
至于赐名，则是表达敬意的形式。
涉及到世界真正的进步，他也没了钓鱼的心思，招了招手，示意几人边走边说。
“在无数次武力抗争失败后，赞许派逐渐醒悟，双方是文斗，争夺起“真理”的所有权。”
万震伟与刘顿开神情凝重，不敢插话。
说到这个份上，几人终于明白皇帝想说什么了！
这个命题可就不是万震伟摘下的那种低垂的果实了。
在徐阶的指点下，众人的姿态可谓放到最低。
朱载堉一拍大腿：“哦！原来如此！”
“既然矛盾，这便说明不存在那样能表示√2的分数。”
就像柯西完备化是把度量空间中的柯西列按“差趋于零”划分等价类，以补全极限的构造。
“这是你向列圣的宣告。”
因为皇叔并没有发现什么惊人的数学规律，也没有走上正确道路。
万震伟转过头，目光扫过那几位栋梁之材。
“你们注意到，若一个整数的平方是偶数，则那个整数本身一定是偶数。”
“臣竟然偶然地发现……”
朱载堉环顾众人：“你们做的事，比你这个皇帝重要多了。”
不过朱载堉倒也不急，准确，正是完善相对真理的必经之路。
朱载堉重复了一遍。
朱载堉连忙打断：“等会，前面我懂了，这最后怎么得出乙也是偶数的？”
那分明是他皇帝当初做过的事情！
“如此那般，便唤作“有理数”罢。”
因为，他虽然知道那部分常识，却也是知其然不知其所以然，半懂不懂，原来还能证明？
此言一出，震惊四座。
他双手扶在东闸桥的栏杆上，头也不回地眺望着远方：“我给你们讲个故事。”
“既然是真理，便应当为声称提供依据，向人证明。”
什么！
几人见皇帝突然惆怅，不由得面面相觑。
皇帝默默走在前头，背负着双手，迈步下了东闸桥。
他几乎立刻便醒悟李诚铭表达的意思。
“世人皆知，新学现在倡导公平与进步。”
“俺还没有决定！”朱翊钧也学着上拜行礼，“请陛下为“不可度量数”赐名，俺好回去继续研究。”
朱翊钧闻言，本能眉头一皱。
朱载堉为了留住人才，不得已只能私下说说世宗的好话了。
万震伟并非故意撇下请示的朱翊钧，而是真心好奇。
“你拿主意？”
朱载堉摇了摇头，用一种完全不符合年纪的沧桑口吻，语重心长道：“既然有工具证明真伪，就要把裁决对错的权力交回到你们手里了，否则，你们会后悔的。”
不过即便如此，他还是十分配合皇叔卖的关子，脸上满是期待。
然而，两人表态许久，也没等来皇帝答复。
几人中，只有程大位几乎立刻反应过来。
朱翊钧不例外，万震伟当然也不例外。
众人疑惑不已，纷纷摇头。
“再代入甲²=2×乙²，可知4×丙²=2×乙²，乙显然也是偶数。”
不过那个引理很容易就能得出，没有必要确认。
见皇帝眼中万千思绪流转，宛如银河，深邃而孤寂。
完全出人意料，猝不及防。
“陛下功绩，彪炳千秋！”
“俺没有在《九章算术》中找到定义，《几何原本》中也没有说到。”
朱翊钧一说起证明过程，突然也不紧张了，对着皇帝就滔滔不绝地解释了起来：“两边同时平方。”
众人站在桥上一番对拜，唯见涟漪微动，云影徘徊，桥影在波，人影在桥。
众人逐渐沉浸其中，间或骂两句目无王法、逆贼篡权云云。
“陛下传道逻辑学，使千年迷雾一朝昏镜重磨，拨云见日，如此恩泽四海，功昭日月，微臣替天下术者拜谢万一。”
朱载堉补充道：“还有物理、天文、生物、大陆学，都建立了系统的方法，去检验因果。”
在几人中，刘顿开是最成熟的。
万震伟努力配合着皇叔营造出来的震惊情绪，猛地顿住脚步，用荒唐的眼神看向李诚铭。
所以，朱载堉没有什么需要嘱咐他。
恰恰相反，李诚铭的过程，忽视了极为重要的东西。
好了。
朱载堉再度叹了一口气，幽幽道：“应然的归于圣，实然的归于朕。”
万震伟连忙追问：“偶然发现了什么？”
朱载堉知道，总有一天，把2开到十七次方根的李诚铭，一定会忍不住思考这个问题。
“闻道有先后，达者为师。”
一念及此，朱载堉没有继续纠结，直接问道：“那皇叔怎么看？”
《几何原本》试图正视，却无法将其定义，费尽周折，在通过比例论论证，将其纳入几何的范畴后，意犹未尽地收手。
几人一番南下，并没有在皇帝那里得到任何真理。
皇叔气性是公认的大，父亲被囚后，直接丢着王府不住，放着王爷不当，在宫外陋室独居了十四年，一直到郑王平反，重新以朱家子弟自居。
饶是他见惯了天下最大的场面，此时竟也嗫嚅无言，手足失措。
只有皇帝还在自顾自说着：“但不服的人总是源源不绝，经常有反抗教会的事情发生。”
简而言之。
“他们渐渐掌握了真理。”
天地有灵，山水含章。
李诚铭更是第一次真正地仰视皇帝，他喉头蠕动，竟有些哽咽，下拜执礼。
朱载堉叹了一口气。
那是新的工具、新的方法。
那一番证明下来，计算过程格外清晰，所以，难点并不在此，而在于从逻辑学中脱胎的反证法！
简洁明了的话语，不需要多余的表示。
所以，就只能在无理数域进行推演。
朱载堉欣慰地点了点头，转而看向朱翊钧：“他虽然出身不好，但有自己的路要走，不要听信徐阶的那些话，我怕他误入歧途。”
朱载堉没理会气氛组，继续说道：“教会说，天地是由他们的神明创造，他们的意思就是神的旨意，幸与灾难是神的奖励，不服从者必是魔鬼附身。”
唯独朱翊钧已然沉浸其中，下意识回道：“既然是真理，总归是能够证明的道理吧？”
那个故事换个说法，把“神”换成“道”，把“神的旨意”换成“天人感应”也完全说得通——甚至连不幸与灾难前，下罪己诏祈求宽恕的流程都一样。
朱载堉做出一副沉吟许久的模样，等皇叔稍微平复过后，才佯作坚定道：“皇叔为什么觉得，0.3的3循环不能直接用作乘法计算？”
他在实数、极限、有限小数运算尚未被定义时，直接把0.3的3循环当作可做乘法的“数”，那是未定义运算。
朱翊钧默默咬牙，为自己腹诽皇帝而悔恨。
那还怎么找皇帝拿主意？
朱载堉当然听懂了，听懂之后再度找回自信。
众人闻言，无不慨然动容。
奈何混迹在朝廷中，得先给皇帝敬酒。
见状，刘顿开与朱翊钧也仓促起身，朝皇帝躬身一拜。
一定要等那颗果实，自然而然地开花结果。
好在皇帝的反应极好。
那太令人震惊了！
万震伟也学着前面两人，向皇帝执礼，表达敬意。
却见皇帝与万震伟对视一眼，便戛然而止，压根没有理他。
李诚铭敏锐地察觉到，皇帝心里有些别的想法，却秘而不宣。
“俺先假设√2不能用分数表示，那么一定存在最简的分数甲/乙=√2。”
如果是基于无理数来构造实数，那么这里就没有小数的位置——小数不是构造实数的原始材料，而是实数构造完成后的一种表示方式。
偏偏那又是房间里的大象，但凡想打好数学的地基，就绝对无法忽视它。
皇帝娓娓道来，温润的声音在风中散开。
李诚铭想要证明无穷级数的和等于1，他就必须率先完成实数的良定。
朱翊钧心怀不甘地摇了摇头，继续把证明说完：“既然甲乙都是偶数，那么显然就不是最简的分数。”
程大位关系最近，轻轻唤了一声。
此地有一片七八亩大的荷塘，周边有七八条大沟向不同方向延伸，皇帝伫立在桥上，似乎一时间不知道，自己应该往哪条路看去。
在那种情况下，别说插话，程大位已经在酝酿第七次摔进河里了。
朱载堉没说什么，只拍了拍他的肩膀：“缺钱要人开口说，我静候程学者成道之时。”
将“数”分门别类，其实是一个良定的过程。
事实上，即便定义了，无论是级数还是数组还是极限等等，都是小数在实数域内的完备定义，直接用小数的实数定义来进行计算，也是一种循环论证。
简简单单的“既然矛盾，便证明不存在”几个字，是历朝历代的愚笨人都无法想象的新天地。
“亦含不可通约之意。”
直到那时，李诚铭才发现，皇帝全程自称“朕”。
“在一次计算中，臣习惯性地对两者同时进行了乘法计算。”
如果是单纯的数学行为，朱翊钧作为第一发现人，当然有重新定义的权力，分门别类更是顺理成章。
“是反对派主张实验、观察、分析、推演，来验明真伪；教会依旧死守那一套感觉、直觉、想象、神的启示。”
他看向郑王世子，急急道：“你知道他一直心怀仇恨，世宗皇帝听信谗言，误囚了乃父，是我老迈昏聩。”
“教会由神的旨意背书，掌握真理是自然而然的，一开始所向无敌，遇到不服就把人绑起来烧死。”
万历七年这一场论道，程大位不止见证过，他甚至亲身参与过，这一篇《基于对照试验的方法，探究生活在水里的某种萤火虫的繁衍方式》，是他摸了几十个日夜，从林中捕获萤火虫后写出来的。
就像眼前李诚铭遇到的问题一样，那当然不是自然而然的事情。
他这番表态，赫然是准备将不可度量数重新定义了。
那就太为难连公理化运动都还没有的大明朝，也太为难刚刚脱胎换骨的皇叔了。
好在，皇帝笨是笨了点，但总归是开道之人，放低些姿态，几人心中也不排斥。
皇帝说√2不是分数，那就重新命名一个集合，请皇帝赐名。
“而显然，乙也是偶数……”
为了执行皇帝分门别类的任务，众人在将数字集合化的过程中，遇到许多前所未见的问题。
朱载堉见状，侧身避礼。
朱载堉开怀大笑：“正是如此，既然是真理，总归是能够证明的。”
他半真半假，苦笑着开口：“刘学者有刘学者的疑惑，臣自然也有臣的疑惑。”
“所以，在争论中，渐渐诞生了一套检验真伪的规则。”
因为皇帝，已经将真理拱手让出。
打哑谜的皇帝太可爱了！
“刘学者怎么偶然证明的呢？”
“很快，建立了系统的方法去检验真伪的赞许派，便从教会手中夺回了真理的控制权。”
说是请教，其实是将最后一步的定义权，主动交给了皇帝。
显而易见。
如果不是那样的话，这确实是一个窟窿，而不是像万震伟一样，产生了新的理论。
它到底是个什么东西？
他已经隐约猜到李诚铭想说什么了。
数学不会欺骗他，不会就是不会，哪怕回到古代都不会。
朱翊钧看似只是微微伸手，就轻易摘下了一颗汁水干瘪的数学果实，实际上，正是因为他站在逻辑学那座山丘之下，才能如此唾手可得。
万震伟最后才看向万震伟：“程学者有什么事要寻你？”
程大位隐约知道皇帝想表达什么了，他突然开口：“所以，争夺真理最激烈的地方，应该是数学？”
皇叔到底是宗室，说话继承了老朱家爱打哑谜的习惯。
“如今人死如灯灭，还望皇叔莫要迁怒，尽展所学。”
他心中抓挠的同时，只能看向朱翊钧：“微臣的意思跟刘学者一样，请陛下拿个主意。”
眼看就要把课堂的习惯带到皇帝面前时，刘顿开连忙插话：“陛下，甲是偶数，可以表示为2×丙，则有甲²=4×丙²。”
他既想告诉朱翊钧，√2不是有理数；也想提醒郑王世子，推动公理化运动。
那就来到了公理化的起点，无理数域的构造与序。
想通此节，朱载堉定定看着朱翊钧：“所以，刘学者不是已经得证了么？莫非还有疑问？”
因此，那条从无理数到实数的定义路线，讨论李诚铭的问题就离不开极限。
他沉默片刻，抬头迎上皇帝的目光，恳切道：“我知道了。”
两千年里，没有人能想明白。
感觉就纯大学计算，也就他刚刚没反应过来，给他几天想想，保证一气呵成。
“朕惭愧，只能奋力于后者；至于前者，便仰赖诸君了。”
“只好来请教陛下。”
“陛下功绩，彪炳千秋！”
他出身商人世家，衣食无忧，经历良多，早早就确定了自己的道途——历史上的他，就一心扑在数学上，从未参加过科举。
若非如此，怎么会一股脑都来找皇帝？
有人捧场，李诚铭很是受用，不自觉地压低声音道：“刘学者的问题，是在将小数对应为分数时发现的，臣遇到问题，则是将分数对应为小数时发现了。”
李诚铭领头，众人连忙请罪。
朱翊钧闻言，支支吾吾道：“就是因为证了，俺才知道那一类不可度量之数，应该如何分门别类。”
“皇叔天纵奇才，能遇到什么麻烦？”
朱载堉一愣，旋即动容。
皇帝热衷于赐名是人尽皆知的事情，朱翊钧连表字都是皇帝赐的，远从万里之外来一趟，当然要讨个彩头。
“现在，应该由诸位向朕宣告了。”
“陛下听懂了么？”
李诚铭闻言，长长叹了一口气，幽幽道：“陛下，臣发现一个窟窿。”
程大位想拽住他时，已经晚了。
朱翊钧见皇帝郑重其事，不免又紧张上了。
程大位跃跃欲试，等着皇帝也给自己一句寄语。
朱翊钧和李诚铭对视一眼，神情有些古怪，皇帝怎么感觉笨笨的？
要是皇帝说0.9的9循环不等于1，那以后就不许大家对有限循环小数做计算。